260.a

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Logaritam je definisan samo za pozitivne brojeve: $x>0 .$ Oblast definisanosti je $D=(0,+\infty) .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=1 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=e^{\frac{1}{2}}\approx1{,}649 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(0,e^{\frac{1}{2}}) ,$ a opada na $(e^{\frac{1}{2}},+\infty) .$

U tački $x=e^{\frac{1}{2}}\approx1{,}649$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(e^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2 e}\approx0{,}184 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(e^{\frac{5}{6}},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(0,e^{\frac{5}{6}}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=e^{\frac{5}{6}}\approx2{,}301 ,$ pa je prevojna tačka $\left(e^{\frac{5}{6}}\approx2{,}301,\ \frac{5}{6 e^{\frac{5}{3}}}\approx0{,}157\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(0,e^{\frac{1}{2}}) ,$ a opada na $(e^{\frac{1}{2}},+\infty)$; lokalni maksimum $\left(e^{\frac{1}{2}}\approx1{,}649,\ \frac{1}{2 e}\approx0{,}184\right)$; asimptote: $x=0 ,$ $y=0$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(e^{\frac{5}{6}},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(0,e^{\frac{5}{6}})$; prevojne tačke u $x=e^{\frac{5}{6}}\approx2{,}301 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.