5877. Ispitivanje toka funkcije

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Logaritam je definisan samo za pozitivne brojeve: $x>0 .$ Oblast definisanosti je $D=(0,+\infty) .$

Grafik seče $x$ -osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=2 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

x\in(0,2)

x\in(2,+\infty)

x^{2}

+

+

- \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(2 \right)}

+

-

f(x)

-

+

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Vertikalne asimptote tražimo na krajevima oblasti definisanosti koji nisu u njoj (tačke u kojima funkcija nije definisana). Nijedna od ovih graničnih vrednosti nije beskonačna, pa vertikalnih asimptota nema.

\lim_{x\to0^{+}}f(x)=0

Kada $x\to+\infty$ je $\lim f(x)=+\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju različitom od nule, pa na toj strani nema ni horizontalne ni kose asimptote.

\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Računamo prvi izvod i sređujemo ga do oblika proizvoda, iz kog se lako čita znak:

f'(x)=x \ln{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{x}{2}=- \frac{x \left(- 2 \ln{\left(x \right)} - 1 + 2 \ln{\left(2 \right)}\right)}{2}

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}\approx1{,}213 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

x\in(0,\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})

x\in(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}},+\infty)

x

+

+

- 2 \ln{\left(x \right)} - 1 + 2 \ln{\left(2 \right)}

+

-

f'(x)

-

+

f(x)

\searrow

\nearrow

Funkcija raste na $(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}},+\infty) ,$ a opada na $(0,\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) .$

U tački $x=\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}\approx1{,}213$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})=- \frac{1}{e}\approx-0{,}368 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Diferenciranjem prvog izvoda dobijamo drugi izvod:

f''(x)=- \frac{- 2 \ln{\left(x \right)} - 3 + 2 \ln{\left(2 \right)}}{2}

x\in(0,\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}})

x\in(\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}},+\infty)

- 2 \ln{\left(x \right)} - 3 + 2 \ln{\left(2 \right)}

+

-

f''(x)

-

+

f(x)

\cap

\cup

Funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}},+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(0,\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}}\approx0{,}446 ,$ pa je prevojna tačka $\left(\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}}\approx0{,}446,\ - \frac{3}{e^{3}}\approx-0{,}149\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}},+\infty) ,$ a opada na $(0,\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})$ ; lokalni minimum $\left(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}\approx1{,}213,\ - \frac{1}{e}\approx-0{,}368\right)$ ; funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}},+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(0,\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}})$ ; prevojne tačke u $x=\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}}\approx0{,}446 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.

Započni učenje

Online časovi

260.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci