260.g

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Logaritam je definisan samo za pozitivne brojeve: $x>0 .$ Oblast definisanosti je $D=(0,+\infty) .$

Grafik seče $x$-osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=1 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=e\approx2{,}718 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(0,e) ,$ a opada na $(e,+\infty) .$

U tački $x=e\approx2{,}718$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(e)=e^{-1}\approx0{,}368 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(e^{\frac{3}{2}},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(0,e^{\frac{3}{2}}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=e^{\frac{3}{2}}\approx4{,}482 ,$ pa je prevojna tačka $\left(e^{\frac{3}{2}}\approx4{,}482,\ \frac{3}{2 e^{\frac{3}{2}}}\approx0{,}335\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(0,e) ,$ a opada na $(e,+\infty)$; lokalni maksimum $\left(e\approx2{,}718,\ e^{-1}\approx0{,}368\right)$; asimptote: $x=0 ,$ $y=0$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(e^{\frac{3}{2}},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(0,e^{\frac{3}{2}})$; prevojne tačke u $x=e^{\frac{3}{2}}\approx4{,}482 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.