260.ž

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Logaritam traži $x>0 ,$ a imenilac $\ln^2x\neq0 ,$ tj. $x\neq1 .$ Oblast definisanosti je $D=(0,1)\cup(1,+\infty) .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Ta jednačina nema rešenja u oblasti definisanosti, pa grafik ne seče $x$-osu.

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=e^{2}\approx7{,}389 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(0,1)$ i na $(e^{2},+\infty) ,$ a opada na $(1,e^{2}) .$

U tački $x=e^{2}\approx7{,}389$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(e^{2})=\frac{e^{2}}{4}\approx1{,}847 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(0,1)$ i na $(1,e^{3}) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(e^{3},+\infty) .$ Drugi izvod menja znak u $x=e^{3}\approx20{,}086 ,$ pa je prevojna tačka $\left(e^{3}\approx20{,}086,\ \frac{e^{3}}{9}\approx2{,}232\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(0,1)$ i na $(e^{2},+\infty) ,$ a opada na $(1,e^{2})$; lokalni minimum $\left(e^{2}\approx7{,}389,\ \frac{e^{2}}{4}\approx1{,}847\right)$; asimptote: $x=1$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(0,1)$ i na $(1,e^{3}) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(e^{3},+\infty)$; prevojne tačke u $x=e^{3}\approx20{,}086 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.