5869. Ispitivanje toka funkcije

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Koren traži $x\ge0 .$ Oblast definisanosti je $D=[0,+\infty) .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=0 .$

Presek sa $y$ -osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

x\in(0,+\infty)

f(x)

+

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Funkcija nema tačaka prekida u kojima bi težila beskonačnosti, pa nema vertikalnih asimptota.

Kada $x\to+\infty$ je $\lim f(x)=+\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju različitom od nule, pa na toj strani nema ni horizontalne ni kose asimptote.

\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod nalazimo pravilima za izvod zbira, proizvoda, količnika i složene funkcije, pa ga rastavljamo na činioce:

f'(x)=\sqrt{x} e^{x} + \frac{e^{x}}{2 \sqrt{x}}=\frac{\left(2 x + 1\right) e^{x}}{2 \sqrt{x}}

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=0 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

x\in(0,+\infty)

f'(x)

+

f(x)

\nearrow

Funkcija raste na $(0,+\infty) .$

Prvi izvod nigde ne menja znak, pa funkcija nema lokalnih ekstremuma.

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Drugi izvod je izvod prvog izvoda. Diferenciramo $f'(x)$ i sređujemo:

f''(x)=\frac{\left(4 x^{2} + 4 x - 1\right) e^{x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}

x\in(0,- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})

x\in(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)

x^{\frac{3}{2}}

+

+

4 x^{2} + 4 x - 1

-

+

e^{x}

+

+

f''(x)

-

+

f(x)

\cap

\cup

Funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2},+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(0,- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}207 ,$ pa je prevojna tačka $\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}207,\ \frac{\sqrt{-2 + 2 \sqrt{2}} e^{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}{2}\approx0{,}56\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(0,+\infty)$ ; funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2},+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(0,- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})$ ; prevojne tačke u $x=- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}207 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.

Započni učenje

Online časovi

259.ž

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci