259.e

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Koren traži $x\ge0 .$ Oblast definisanosti je $D=[0,+\infty) .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=0 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Funkcija nema tačaka prekida u kojima bi težila beskonačnosti, pa nema vertikalnih asimptota.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=0 ,$ $x=\frac{1}{2} .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(0,\frac{1}{2}) ,$ a opada na $(\frac{1}{2},+\infty) .$

U tački $x=\frac{1}{2}$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}\approx0{,}429 .$ U $x=0$ izvod je nula ili ne postoji, ali ne menja znak, pa tu nema ekstremuma.

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(0,\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\approx1{,}207 ,$ pa je prevojna tačka $\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\approx1{,}207,\ \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2}}}{2 e^{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}\approx0{,}329\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(0,\frac{1}{2}) ,$ a opada na $(\frac{1}{2},+\infty)$; lokalni maksimum $\left(\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}\approx0{,}429\right)$; asimptote: $y=0$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(0,\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})$; prevojne tačke u $x=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\approx1{,}207 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.