259.đ

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Imenilac mora biti različit od nule: $x^2\neq8 ,$ tj. $x\neq\pm2\sqrt2 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{-2\sqrt2,2\sqrt2\} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Ta jednačina nema rešenja u oblasti definisanosti, pa grafik ne seče $x$-osu.

Presek sa $y$-osom: $f(0)=- \frac{1}{8} .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=- \frac{e}{7}\approx-0{,}388 ,$ a $f(-1)=- \frac{1}{7 e}\approx-0{,}053 .$

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=-2 ,$ $x=4 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,- 2 \sqrt{2})$ i na $(- 2 \sqrt{2},-2)$ i na $(4,+\infty) ,$ a opada na $(-2,2 \sqrt{2})$ i na $(2 \sqrt{2},4) .$

U tački $x=-2$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(-2)=- \frac{1}{4 e^{2}}\approx-0{,}034 .$ U tački $x=4$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(4)=\frac{e^{4}}{8}\approx6{,}825 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,- 2 \sqrt{2})$ i na $(2 \sqrt{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(- 2 \sqrt{2},2 \sqrt{2}) .$ Drugi izvod nigde ne menja znak u oblasti definisanosti, pa prevojnih tačaka nema.

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,- 2 \sqrt{2})$ i na $(- 2 \sqrt{2},-2)$ i na $(4,+\infty) ,$ a opada na $(-2,2 \sqrt{2})$ i na $(2 \sqrt{2},4)$; lokalni maksimum $\left(-2,\ - \frac{1}{4 e^{2}}\approx-0{,}034\right)$; lokalni minimum $\left(4,\ \frac{e^{4}}{8}\approx6{,}825\right)$; asimptote: $x=- 2 \sqrt{2} ,$ $x=2 \sqrt{2} ,$ $y=0$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,- 2 \sqrt{2})$ i na $(2 \sqrt{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(- 2 \sqrt{2},2 \sqrt{2}) .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.