245.đ

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Imenilac mora biti različit od nule: $x\notin\{-2,2\} .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=0 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=- 2 \sqrt{3}\approx-3{,}464 ,$ $x=0 ,$ $x=2 \sqrt{3}\approx3{,}464 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,- 2 \sqrt{3})$ i na $(2 \sqrt{3},+\infty) ,$ a opada na $(- 2 \sqrt{3},-2)$ i na $(-2,2)$ i na $(2,2 \sqrt{3}) .$

U tački $x=- 2 \sqrt{3}\approx-3{,}464$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(- 2 \sqrt{3})=- 3 \sqrt{3}\approx-5{,}196 .$ U tački $x=2 \sqrt{3}\approx3{,}464$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(2 \sqrt{3})=3 \sqrt{3}\approx5{,}196 .$ U $x=0$ izvod je nula ili ne postoji, ali ne menja znak, pa tu nema ekstremuma.

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-2,0)$ i na $(2,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,-2)$ i na $(0,2) .$ Drugi izvod menja znak u $x=0 ,$ pa je prevojna tačka $\left(0,\ 0\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,- 2 \sqrt{3})$ i na $(2 \sqrt{3},+\infty) ,$ a opada na $(- 2 \sqrt{3},-2)$ i na $(-2,2)$ i na $(2,2 \sqrt{3})$; lokalni maksimum $\left(- 2 \sqrt{3}\approx-3{,}464,\ - 3 \sqrt{3}\approx-5{,}196\right)$; lokalni minimum $\left(2 \sqrt{3}\approx3{,}464,\ 3 \sqrt{3}\approx5{,}196\right)$; asimptote: $x=-2 ,$ $x=2 ,$ $y=x$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-2,0)$ i na $(2,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,-2)$ i na $(0,2)$; prevojne tačke u $x=0 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.