5833. Ispitivanje toka funkcije

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Imenilac mora biti različit od nule: $x\neq0 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{0\} .$

Grafik seče $x$ -osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=- \sqrt{2}\approx-1{,}414 ,$ $x=\sqrt{2}\approx1{,}414 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

x\in(-\infty,- \sqrt{2})

x\in(- \sqrt{2},0)

x\in(0,\sqrt{2})

x\in(\sqrt{2},+\infty)

x^{3}

-

-

+

+

x^{2} + 1

+

+

+

+

x^{2} - 2

+

-

-

+

f(x)

-

+

-

+

Funkcija je neparna, jer je $f(-x)=-f(x)$ za svako $x$ iz oblasti; grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak.

f(-x)=- x + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}=-f(x)

Vertikalne asimptote tražimo na krajevima oblasti definisanosti koji nisu u njoj (tačke u kojima funkcija nije definisana). Granična vrednost je beskonačna, pa je $x=0$ vertikalna asimptota.

\lim_{x\to0^{-}}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty

Kada $x\to\pm\infty ,$ $f(x)$ teži beskonačnosti, pa horizontalne asimptote nema. Kosu asimptotu $y=kx+n$ tražimo iz $k=\lim\frac{f(x)}x$ i $n=\lim(f(x)-kx)$ ; na obe strane dobijamo iste vrednosti:

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=1, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-x\right)=0 \implies y=x

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Računamo prvi izvod i sređujemo ga do oblika proizvoda, iz kog se lako čita znak:

f'(x)=\frac{\left(4 x^{3} - 2 x\right)\left(x^{3}\right)-\left(x^{4} - x^{2} - 2\right)\left(3 x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}=\frac{x^{4} + x^{2} + 6}{x^{4}}

Prvi izvod nema nula u oblasti definisanosti, pa ima stalan znak na svakom intervalu te oblasti.

x\in(-\infty,0)

x\in(0,+\infty)

x^{4}

+

+

x^{4} + x^{2} + 6

+

+

f'(x)

+

+

f(x)

\nearrow

\nearrow

Funkcija raste na $(-\infty,0)$ i na $(0,+\infty) .$

Pošto se znak prvog izvoda ne menja ni u jednoj tački oblasti, lokalnih ekstremuma nema.

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Diferenciranjem prvog izvoda dobijamo drugi izvod:

f''(x)=- \frac{2 \left(x^{2} + 12\right)}{x^{5}}

x\in(-\infty,0)

x\in(0,+\infty)

x^{5}

-

+

x^{2} + 12

+

+

f''(x)

+

-

f(x)

\cup

\cap

Funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(-\infty,0) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(0,+\infty) .$ Drugi izvod nigde ne menja znak u oblasti definisanosti, pa prevojnih tačaka nema.

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,0)$ i na $(0,+\infty)$ ; asimptote: $x=0 ,$ $y=x$ ; funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(-\infty,0) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(0,+\infty) .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.

Započni učenje

Online časovi

246.k

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci