246.đ

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Imenilac mora biti različit od nule: $x\neq-1 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=0 ,$ $x=4 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=\frac{2}{3} .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-1,\frac{2}{3}) ,$ a opada na $(-\infty,-1)$ i na $(\frac{2}{3},+\infty) .$

U tački $x=\frac{2}{3}$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(\frac{2}{3})=\frac{4}{5} .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(\frac{3}{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,\frac{3}{2}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=\frac{3}{2} ,$ pa je prevojna tačka $\left(\frac{3}{2},\ \frac{3}{5}\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-1,\frac{2}{3}) ,$ a opada na $(-\infty,-1)$ i na $(\frac{2}{3},+\infty)$; lokalni maksimum $\left(\frac{2}{3},\ \frac{4}{5}\right)$; asimptote: $x=-1 ,$ $y=-1$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(\frac{3}{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,\frac{3}{2})$; prevojne tačke u $x=\frac{3}{2} .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.