246.d

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Imenilac mora biti različit od nule: $x\neq0 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{0\} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Ta jednačina nema rešenja u oblasti definisanosti, pa grafik ne seče $x$-osu.

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=1 ,$ a $f(-1)=3 .$

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=2 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,0)$ i na $(2,+\infty) ,$ a opada na $(0,2) .$

U tački $x=2$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(2)=\frac{3}{4} .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,0)$ i na $(0,3) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(3,+\infty) .$ Drugi izvod menja znak u $x=3 ,$ pa je prevojna tačka $\left(3,\ \frac{7}{9}\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,0)$ i na $(2,+\infty) ,$ a opada na $(0,2)$; lokalni minimum $\left(2,\ \frac{3}{4}\right)$; asimptote: $x=0 ,$ $y=1$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,0)$ i na $(0,3) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(3,+\infty)$; prevojne tačke u $x=3 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.