245.e

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Imenilac mora biti različit od nule: $x\neq-1 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\} .$

Grafik seče $x$-osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=\frac{1}{3} .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=-1 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=\frac{5}{3} .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-1,\frac{5}{3}) ,$ a opada na $(-\infty,-1)$ i na $(\frac{5}{3},+\infty) .$

U tački $x=\frac{5}{3}$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(\frac{5}{3})=\frac{9}{16} .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(3,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,3) .$ Drugi izvod menja znak u $x=3 ,$ pa je prevojna tačka $\left(3,\ \frac{1}{2}\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-1,\frac{5}{3}) ,$ a opada na $(-\infty,-1)$ i na $(\frac{5}{3},+\infty)$; lokalni maksimum $\left(\frac{5}{3},\ \frac{9}{16}\right)$; asimptote: $x=-1 ,$ $y=0$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(3,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,3)$; prevojne tačke u $x=3 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.