245.ž

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Imenilac mora biti različit od nule: $x\neq2 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{2\} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=3 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=\frac{9}{2} .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=1 ,$ $x=3 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(1,2)$ i na $(2,3) ,$ a opada na $(-\infty,1)$ i na $(3,+\infty) .$

U tački $x=1$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(1)=4 .$ U tački $x=3$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(3)=0 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,2) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(2,+\infty) .$ Drugi izvod nigde ne menja znak u oblasti definisanosti, pa prevojnih tačaka nema.

Rezime: funkcija raste na $(1,2)$ i na $(2,3) ,$ a opada na $(-\infty,1)$ i na $(3,+\infty)$; lokalni minimum $\left(1,\ 4\right)$; lokalni maksimum $\left(3,\ 0\right)$; asimptote: $x=2 ,$ $y=4 - x$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,2) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(2,+\infty) .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.