246.j

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Imenilac mora biti različit od nule: $x\neq4 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{4\} .$

Grafik seče $x$-osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=-4 ,$ $x=3 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=3 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=4 - 2 \sqrt{2}\approx1{,}172 ,$ $x=2 \sqrt{2} + 4\approx6{,}828 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,4 - 2 \sqrt{2})$ i na $(2 \sqrt{2} + 4,+\infty) ,$ a opada na $(4 - 2 \sqrt{2},4)$ i na $(4,2 \sqrt{2} + 4) .$

U tački $x=4 - 2 \sqrt{2}\approx1{,}172$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(4 - 2 \sqrt{2})=9 - 4 \sqrt{2}\approx3{,}343 .$ U tački $x=2 \sqrt{2} + 4\approx6{,}828$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(2 \sqrt{2} + 4)=4 \sqrt{2} + 9\approx14{,}657 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(4,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,4) .$ Drugi izvod nigde ne menja znak u oblasti definisanosti, pa prevojnih tačaka nema.

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,4 - 2 \sqrt{2})$ i na $(2 \sqrt{2} + 4,+\infty) ,$ a opada na $(4 - 2 \sqrt{2},4)$ i na $(4,2 \sqrt{2} + 4)$; lokalni maksimum $\left(4 - 2 \sqrt{2}\approx1{,}172,\ 9 - 4 \sqrt{2}\approx3{,}343\right)$; lokalni minimum $\left(2 \sqrt{2} + 4\approx6{,}828,\ 4 \sqrt{2} + 9\approx14{,}657\right)$; asimptote: $x=4 ,$ $y=x + 5$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(4,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,4) .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.