246.i

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Imenilac mora biti različit od nule: $x\neq0 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{0\} .$

Grafik seče $x$-osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=- \frac{\sqrt{3}}{3}\approx-0{,}577 ,$ $x=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}577 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=-1 ,$ $x=1 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-1,0)$ i na $(0,1) ,$ a opada na $(-\infty,-1)$ i na $(1,+\infty) .$

U tački $x=-1$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(-1)=-2 .$ U tački $x=1$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(1)=2 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(- \sqrt{2},0)$ i na $(\sqrt{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,- \sqrt{2})$ i na $(0,\sqrt{2}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=- \sqrt{2}\approx-1{,}414 ,$ $x=\sqrt{2}\approx1{,}414 ,$ pa su prevojne tačke $\left(- \sqrt{2}\approx-1{,}414,\ - \frac{5 \sqrt{2}}{4}\approx-1{,}768\right) ,$ $\left(\sqrt{2}\approx1{,}414,\ \frac{5 \sqrt{2}}{4}\approx1{,}768\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-1,0)$ i na $(0,1) ,$ a opada na $(-\infty,-1)$ i na $(1,+\infty)$; lokalni minimum $\left(-1,\ -2\right)$; lokalni maksimum $\left(1,\ 2\right)$; asimptote: $x=0 ,$ $y=0$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(- \sqrt{2},0)$ i na $(\sqrt{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,- \sqrt{2})$ i na $(0,\sqrt{2})$; prevojne tačke u $x=- \sqrt{2}\approx-1{,}414 ,$ $x=\sqrt{2}\approx1{,}414 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.