5829. Ispitivanje toka funkcije

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Imenilac mora biti različit od nule: $x\neq-1 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=0 .$

Presek sa $y$ -osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

x\in(-\infty,-1)

x\in(-1,0)

x\in(0,+\infty)

x

-

-

+

\left(x + 1\right)^{2}

+

+

+

f(x)

-

-

+

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Vertikalne asimptote tražimo na krajevima oblasti definisanosti koji nisu u njoj (tačke u kojima funkcija nije definisana). Granična vrednost je beskonačna, pa je $x=-1$ vertikalna asimptota.

\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-1^{+}}f(x)=-\infty

Kada $x\to\pm\infty ,$ funkcija teži istom konačnom broju, pa je $y=0$ horizontalna asimptota (na obe strane).

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod nalazimo pravilima za izvod zbira, proizvoda, količnika i složene funkcije, pa ga rastavljamo na činioce:

f'(x)=\frac{\left(1\right)\left(\left(x + 1\right)^{2}\right)-\left(x\right)\left(2 x + 2\right)}{\left(\left(x + 1\right)^{2}\right)^{2}}=- \frac{x - 1}{\left(x + 1\right)^{3}}

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=1 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

x\in(-\infty,-1)

x\in(-1,1)

x\in(1,+\infty)

\left(x + 1\right)^{3}

-

+

+

x - 1

-

-

+

f'(x)

-

+

-

f(x)

\searrow

\nearrow

\searrow

Funkcija raste na $(-1,1) ,$ a opada na $(-\infty,-1)$ i na $(1,+\infty) .$

U tački $x=1$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(1)=\frac{1}{4} .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Drugi izvod je izvod prvog izvoda. Diferenciramo $f'(x)$ i sređujemo:

f''(x)=\frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}

x\in(-\infty,-1)

x\in(-1,2)

x\in(2,+\infty)

\left(x + 1\right)^{4}

+

+

+

x - 2

-

-

+

f''(x)

-

-

+

f(x)

\cap

\cap

\cup

Funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(2,+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,2) .$ Drugi izvod menja znak u $x=2 ,$ pa je prevojna tačka $\left(2,\ \frac{2}{9}\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-1,1) ,$ a opada na $(-\infty,-1)$ i na $(1,+\infty)$ ; lokalni maksimum $\left(1,\ \frac{1}{4}\right)$ ; asimptote: $x=-1 ,$ $y=0$ ; funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(2,+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,2)$ ; prevojne tačke u $x=2 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.

Započni učenje

Online časovi

246.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci