5837. Ispitivanje toka funkcije

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Funkcija je definisana za $x>-1 .$ Radi preglednosti uvodimo $t=\sqrt{x+1}>0$ ; tada je $y=\frac ta+\frac at$ i $t'=\frac1{2\sqrt{x+1}} .$ Po pravilu za složenu funkciju:

y'=\left(\frac1a-\frac a{t^2}\right)\cdot\frac1{2\sqrt{x+1}}=\frac{t^2-a^2}{at^2}\cdot\frac1{2t}=\frac{x+1-a^2}{2a\sqrt{(x+1)^3}}

Imenilac je pozitivan, pa je znak izvoda znak izraza $x+1-a^2 :$ negativan za $x<a^2-1 ,$ pozitivan za $x>a^2-1 .$ Izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je u $x=a^2-1$ lokalni minimum.

Vrednost minimuma: za $x=a^2-1$ je $\sqrt{x+1}=a$ (jer je $a>0$ ), pa je:

y_{\min}=\frac aa+\frac aa=2

Provera za $a=3 :$ minimum je u $x=8 ,$ $y(8)=\frac33+\frac33=2 ,$ a npr. $y(3)=\frac23+\frac32\approx2{,}17>2 .$

Za svako $a>0$ funkcija ima lokalni minimum $y=2$ (u tački $x=a^2-1$ ); vrednost minimuma ne zavisi od $a .$

Započni učenje

Online časovi

247

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci