259.b

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Izložilac $\frac1{x^2-1}$ traži $x^2-1\neq0 ,$ tj. $x\neq\pm1 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\} .$

Grafik seče $x$-osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Ta jednačina nema rešenja u oblasti definisanosti, pa grafik ne seče $x$-osu.

Presek sa $y$-osom: $f(0)=e^{-1}\approx0{,}368 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=0 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,0) ,$ a opada na $(0,1)$ i na $(1,+\infty) .$

U tački $x=0$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(0)=e^{-1}\approx0{,}368 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3})$ i na $(\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3},1)$ i na $(1,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3},\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\approx-0{,}76 ,$ $x=\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\approx0{,}76 ,$ pa su prevojne tačke $\left(- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\approx-0{,}76,\ e^{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}\approx0{,}094\right) ,$ $\left(\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\approx0{,}76,\ e^{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}\approx0{,}094\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,0) ,$ a opada na $(0,1)$ i na $(1,+\infty)$; lokalni maksimum $\left(0,\ e^{-1}\approx0{,}368\right)$; asimptote: $x=-1 ,$ $x=1 ,$ $y=1$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3})$ i na $(\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3},1)$ i na $(1,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3},\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3})$; prevojne tačke u $x=- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\approx-0{,}76 ,$ $x=\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\approx0{,}76 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.