5126. Svojstva realnih funkcija

Proizvod dva sinusa ne možemo lako proceniti, pa ga pretvaramo u razliku kosinusa po formuli $\sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)] ,$ za $\alpha=2x$ i $\beta=2x-\frac{\pi}{6} .$ Tada je $\alpha-\beta=\frac{\pi}{6}$ i $\alpha+\beta=4x-\frac{\pi}{6} :$

y=\frac12\left[\cos\frac{\pi}{6}-\cos\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)\right]=\frac{\sqrt3}{4}-\frac12\cos\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)

Sada $x$ postoji samo na jednom mestu. Vrednost je najveća kada je oduzeti deo najmanji, tj. kada je kosinus najmanji mogući, a to je $-1 :$

y\leq\frac{\sqrt3}{4}-\frac12\cdot(-1)=\frac{\sqrt3}{4}+\frac12=\frac{2+\sqrt3}{4}

Kosinus je jednak $-1$ kada je ugao $\pi$ plus ceo broj punih krugova:

4x-\frac{\pi}{6}=\pi+2k\pi \iff 4x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \iff x=\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}, \quad k\in\mathbb{Z}

Najveća vrednost funkcije je $\frac{2+\sqrt3}{4}$ i dostiže se za $x=\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2} ,$ $k\in\mathbb{Z} .$

Započni učenje

Online časovi

99.a

Beleške