127.g

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 .$ Proverimo je brojevima: za $x=0{,}1$ je $\frac{\sin x}{x}\approx0{,}99833 ,$ za $x=0{,}01$ je $\approx0{,}99998 .$ Po pravilu o smeni iz gradiva, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži nuli: $\lim\frac{\sin u}{u}=1 .$ Zato je, na primer, $\frac{\sin3x}{3x}\to1$ kada $x\to0 .$

Koristimo formule za transformaciju zbira u proizvod: $\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ i $\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} .$

Ukratko, kako se dobija prvi činilac: $\cos\alpha x-\cos\beta x=2\sin\frac{(\alpha+\beta)x}2\sin\frac{(\beta-\alpha)x}2 ,$ a svaki sinus se ponaša kao svoj argument, pa je količnik sa $x^2$ blizu $2\cdot\frac{\alpha+\beta}2\cdot\frac{\beta-\alpha}2=\frac{\beta^2-\alpha^2}2 .$

Rešenje: $\lim_{x\to0}\frac{\cos(\alpha x)-\cos(\beta x)}{\sin^2x}=\frac{\beta^2-\alpha^2}2 .$