5286. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 .$ Proverimo je brojevima: za $x=0{,}1$ je $\frac{\sin x}{x}\approx0{,}99833 ,$ za $x=0{,}01$ je $\approx0{,}99998 .$ Po pravilu o smeni iz gradiva, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži nuli: $\lim\frac{\sin u}{u}=1 .$ Zato je, na primer, $\frac{\sin3x}{3x}\to1$ kada $x\to0 .$

Uvrštavanjem $x=2 :$ brojilac $0 ,$ imenilac $\cos\frac\pi2=0 .$ Uvodimo smenu $z=x-2 ,$ tj. $x=z+2$ ; kada $x\to2 ,$ onda $z\to0 .$ Brojilac: $x^2-4=(x-2)(x+2)=z(z+4) .$

Imenilac: $\cos\frac\pi4(z+2)=\cos\left(\frac\pi4z+\frac\pi2\right) .$ Po formuli $\cos\left(\alpha+\frac\pi2\right)=-\sin\alpha :$

\cos\frac\pi4x=-\sin\frac{\pi z}{4}

Dopunjavamo do oblika $\frac{u}{\sin u}$ sa $u=\frac{\pi z}4 :$

\frac{z(z+4)}{-\sin\frac{\pi z}4}=-\frac4\pi\cdot\frac{\frac{\pi z}4}{\sin\frac{\pi z}4}\cdot(z+4)

Kada $z\to0 ,$ razlomak teži broju $1 ,$ a $z+4\to4 :$

\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{\cos\frac{\pi}{4}x}=-\frac4\pi\cdot1\cdot4=-\frac{16}{\pi}

Provera brojevima, blizu tačke $2$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=1{,}999:\ f(x)\approx-5{,}0917 \\ x=2{,}001:\ f(x)\approx-5{,}0942\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{\cos\frac{\pi}{4}x}=-\frac{16}{\pi} .$

Započni učenje

Online časovi

127.d

Beleške