127.ž

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 .$ Proverimo je brojevima: za $x=0{,}1$ je $\frac{\sin x}{x}\approx0{,}99833 ,$ za $x=0{,}01$ je $\approx0{,}99998 .$ Po pravilu o smeni iz gradiva, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži nuli: $\lim\frac{\sin u}{u}=1 .$ Zato je, na primer, $\frac{\sin3x}{3x}\to1$ kada $x\to0 .$

Provera za $\alpha=0{,}7 ,$ $x=0{,}7001 :$ vrednost razlomka je $\approx0{,}7039 ,$ a $\frac{\sin1{,}4}{1{,}4}\approx0{,}7039 .$

Rešenje: $\lim_{x\to\alpha}\frac{\sin^2x-\sin^2\alpha}{x^2-\alpha^2}=\frac{\sin2\alpha}{2\alpha} .$