5278. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Kada $x\to\frac\pi6 ,$ onda $\sin x\to\frac12 .$ Uvrštavanjem: brojilac $\frac12+\frac12-1=0 ,$ imenilac $\frac12-\frac32+1=0 .$ Označimo $t=\sin x$ ; dobijamo količnik dva kvadratna trinoma po $t ,$ koja oba imaju nulu $t=\frac12 .$

Rastavljamo ih. Za $2t^2+t-1$ nule su $t_{1,2}=\frac{-1\pm3}{4} ,$ tj. $\frac12$ i $-1 .$ Za $2t^2-3t+1$ nule su $t_{1,2}=\frac{3\pm1}{4} ,$ tj. $1$ i $\frac12 :$

2t^2+t-1=(2t-1)(t+1), \qquad 2t^2-3t+1=(2t-1)(t-1)

Skraćujemo $2t-1$ (za $x$ blizu $\frac\pi6 ,$ $x\neq\frac\pi6 ,$ je $\sin x\neq\frac12$ ) i uvrštavamo $t=\frac12 :$

\lim_{x\to\frac\pi6}\frac{\sin x+1}{\sin x-1}=\frac{\frac12+1}{\frac12-1}=\frac{\frac32}{-\frac12}=-3

Provera brojevima, blizu tačke $0{,}523599$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=0{,}522599:\ f(x)\approx-2{,}9931 \\ x=0{,}524599:\ f(x)\approx-3{,}0069\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{2\sin^2x+\sin x-1}{2\sin^2x-3\sin x+1}=-3 .$

Započni učenje

Online časovi

126.g

Beleške