5275. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Kada $x\to\frac\pi4 ,$ onda $\cos x\to\frac{\sqrt2}2$ i $\sin x\to\frac{\sqrt2}2 ,$ pa su brojilac i imenilac nula. Brojilac je razlika kvadrata:

\cos^2x-\sin^2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)

Skraćujemo $\cos x-\sin x$ i uvrštavamo $x=\frac\pi4 :$

\lim_{x\to\frac\pi4}(\cos x+\sin x)=\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2=\sqrt2

Provera brojevima, blizu tačke $0{,}785398$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=0{,}784398:\ f(x)\approx1{,}4142 \\ x=0{,}786398:\ f(x)\approx1{,}4142\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos x-\sin x}=\sqrt2 .$

Započni učenje

Online časovi

126.d

Beleške