5281. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo formule za transformaciju zbira u proizvod: $\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ i $\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} .$

Brojilac: $\frac{5x+2x}2=\frac{7x}2 ,$ $\frac{5x-2x}2=\frac{3x}2 .$ Imenilac: $\frac{4x+x}2=\frac{5x}2 ,$ $\frac{4x-x}2=\frac{3x}2 :$

\frac{\sin5x-\sin2x}{\sin4x-\sin x}=\frac{2\cos\frac{7x}2\sin\frac{3x}2}{2\cos\frac{5x}2\sin\frac{3x}2}=\frac{\cos\frac{7x}2}{\cos\frac{5x}2}

Skratili smo $2\sin\frac{3x}2 .$ Uvrštavamo $x=0 :$

\lim_{x\to0}\frac{\cos\frac{7x}2}{\cos\frac{5x}2}=\frac11=1

Provera brojevima, blizu tačke $0$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=-0{,}001:\ f(x)\approx1 \\ x=0{,}001:\ f(x)\approx1\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-\sin2x}{\sin4x-\sin x}=1 .$

Započni učenje

Online časovi

126.v

Beleške