5274. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo formule za transformaciju zbira u proizvod: $\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ i $\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} .$

Brojilac: $A=7x ,$ $B=5x ,$ pa je $\sin7x-\sin5x=2\cos6x\sin x .$ Imenilac po formuli dvostrukog ugla: $\sin2x=2\sin x\cos x .$ Skraćujemo $2\sin x :$

\frac{\sin7x-\sin5x}{\sin2x}=\frac{2\cos6x\sin x}{2\sin x\cos x}=\frac{\cos6x}{\cos x}

Uvrštavamo $x=0 :$

\lim_{x\to0}\frac{\cos6x}{\cos x}=\frac{1}{1}=1

Provera brojevima, blizu tačke $0$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=-0{,}001:\ f(x)\approx1 \\ x=0{,}001:\ f(x)\approx1\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to0}\frac{\sin7x-\sin5x}{\sin2x}=1 .$

Započni učenje

Online časovi

126.b

Beleške