127.e

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 .$ Proverimo je brojevima: za $x=0{,}1$ je $\frac{\sin x}{x}\approx0{,}99833 ,$ za $x=0{,}01$ je $\approx0{,}99998 .$ Po pravilu o smeni iz gradiva, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži nuli: $\lim\frac{\sin u}{u}=1 .$ Zato je, na primer, $\frac{\sin3x}{3x}\to1$ kada $x\to0 .$

Podsetimo se: $\arcsin x$ je broj $\alpha$ iz intervala $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ za koji je $\sin\alpha=x .$ Uvodimo smenu $\alpha=\arcsin x ,$ tj. $x=\sin\alpha .$ Kada $x\to0 ,$ onda $\alpha\to\arcsin0=0 .$

Smena u graničnoj vrednosti (pravilo iz gradiva): ako nova promenljiva $u$ teži broju $u_0$ kada $x\to x_0 ,$ i različita je od $u_0$ za $x\neq x_0 ,$ graničnu vrednost možemo računati po $u ,$ kada $u\to u_0 .$

Rešenje: $\lim_{x\to0}\frac{2\arcsin x}{3x}=\frac23 .$