5287. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 .$ Proverimo je brojevima: za $x=0{,}1$ je $\frac{\sin x}{x}\approx0{,}99833 ,$ za $x=0{,}01$ je $\approx0{,}99998 .$ Po pravilu o smeni iz gradiva, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži nuli: $\lim\frac{\sin u}{u}=1 .$ Zato je, na primer, $\frac{\sin3x}{3x}\to1$ kada $x\to0 .$

Uvrštavanjem $x=\pi :$ brojilac $\sin\pi=0 ,$ imenilac $1-1=0 .$ Imenilac sređujemo: $1-\frac{x^2}{\pi^2}=\frac{\pi^2-x^2}{\pi^2}=\frac{(\pi-x)(\pi+x)}{\pi^2} .$ U brojiocu koristimo $\sin x=\sin(\pi-x) :$

\frac{\sin x}{1-\frac{x^2}{\pi^2}}=\frac{\pi^2}{\pi+x}\cdot\frac{\sin(\pi-x)}{\pi-x}

Sa smenom $u=\pi-x\to0$ drugi činilac teži broju $1 ,$ a prvi broju $\frac{\pi^2}{2\pi}=\frac\pi2 :$

\lim_{x\to\pi}\frac{\sin x}{1-\frac{x^2}{\pi^2}}=\frac\pi2\cdot1=\frac\pi2

Provera brojevima, blizu tačke $3{,}141593$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=3{,}140593:\ f(x)\approx1{,}571 \\ x=3{,}142593:\ f(x)\approx1{,}5705\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\pi}\frac{\sin x}{1-\frac{x^2}{\pi^2}}=\frac\pi2 .$

Započni učenje

Online časovi

127.đ

Beleške