127.a

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo važnu graničnu vrednost $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 .$ Proverimo je brojevima: za $x=0{,}1$ je $\frac{\sin x}{x}\approx0{,}99833 ,$ za $x=0{,}01$ je $\approx0{,}99998 .$ Po pravilu o smeni iz gradiva, isto važi kada umesto $x$ stoji bilo koji izraz $u$ koji teži nuli: $\lim\frac{\sin u}{u}=1 .$ Zato je, na primer, $\frac{\sin3x}{3x}\to1$ kada $x\to0 .$

Odatle sledi i korisna granična vrednost $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 :$ zaista, $\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2\sin^2\frac x2}{x^2}=\frac12\left(\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}\right)^2\to\frac12\cdot1^2=\frac12 .$

Uvrštavanjem $x=\frac\pi3 :$ brojilac $\sin0=0 ,$ imenilac $1-2\cdot\frac12=0 .$ Uvodimo smenu $z=x-\frac\pi3 ,$ tj. $x=z+\frac\pi3$; kada $x\to\frac\pi3 ,$ onda $z\to0 .$

Rešenje: $\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos x}=\frac{\sqrt3}{3} .$