5328. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo važne granične vrednosti: $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 ,$ $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$ i $\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ ( $a>0 ,$ $a\neq1$ ). Brojevima: za $x=0{,}01$ je $\frac{\ln1{,}01}{0{,}01}\approx0{,}99503$ i $\frac{e^{0{,}01}-1}{0{,}01}\approx1{,}00502 .$ Po pravilu o smeni, umesto $x$ može stajati bilo koji izraz koji teži nuli.

Dodajemo i oduzimamo $1$ u brojiocu i razlomak rastavljamo na dva:

\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}=\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\frac{1-\cos x}{x^2}

Prvi razlomak (smena $u=x^2\to0$ ) teži broju $1 .$ Drugi teži broju $\frac12 ,$ jer je $1-\cos x=2\sin^2\frac x2 ,$ pa $\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\left(\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}\right)^2\to\frac12 :$

\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}=1+\frac12=\frac32

Provera brojevima, blizu tačke $0$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=-0{,}001:\ f(x)\approx1{,}5 \\ x=0{,}001:\ f(x)\approx1{,}5\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}=\frac32 .$

Započni učenje

Online časovi

131.ž

Beleške