5327. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Koristimo važne granične vrednosti: $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 ,$ $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$ i $\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ ( $a>0 ,$ $a\neq1$ ). Brojevima: za $x=0{,}01$ je $\frac{\ln1{,}01}{0{,}01}\approx0{,}99503$ i $\frac{e^{0{,}01}-1}{0{,}01}\approx1{,}00502 .$ Po pravilu o smeni, umesto $x$ može stajati bilo koji izraz koji teži nuli.

Kada $x\to\infty ,$ $e^{\frac1x}\to1 ,$ pa je ovo oblik „ $\infty\cdot0$ ”. Uvodimo smenu $u=\frac1x$ ; kada $x\to\infty ,$ onda $u\to0 ,$ a $x=\frac1u :$

x\left(e^{\frac1x}-1\right)=\frac{e^u-1}{u}

Ovo teži broju $1 :$

\lim_{x\to\infty}x\left(e^{\frac1x}-1\right)=\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx1{,}0517 \\ x=100:\ f(x)\approx1{,}005 \\ x=1000:\ f(x)\approx1{,}0005\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to\infty}x\left(e^{\frac1x}-1\right)=1 .$

Započni učenje

Online časovi

131.z

Beleške