5993. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Prvo uvodimo $t=x-1 ,$ $dt=dx :$

\int\frac{dx}{\sqrt{2-(x-1)^2}}=\int\frac{dt}{\sqrt{2-t^2}}

Iz korena izvlačimo $\sqrt2 :$ $\sqrt{2-t^2}=\sqrt2\sqrt{1-\left(\frac t{\sqrt2}\right)^2} .$ Druga smena je $u=\frac t{\sqrt2} ,$ $dt=\sqrt2\,du ,$ pa se $\sqrt2$ skraćuje:

\int\frac{dt}{\sqrt{2-t^2}}=\int\frac{\sqrt2\,du}{\sqrt2\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C

Vraćamo $u=\frac{t}{\sqrt2}=\frac{x-1}{\sqrt2} :$

\int\frac{dx}{\sqrt{2-(x-1)^2}}=\arcsin\frac{x-1}{\sqrt2}+C

Provera:

\left(\arcsin\frac{x-1}{\sqrt2}\right)'=\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{\sqrt{1-\frac{(x-1)^2}2}}=\frac{\frac1{\sqrt2}}{\frac1{\sqrt2}\sqrt{2-(x-1)^2}}=\frac1{\sqrt{2-(x-1)^2}}

Konačno, $\int\frac{dx}{\sqrt{2-(x-1)^2}}=\arcsin\frac{x-1}{\sqrt2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

327.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci