5986. Metoda smene promenljive

Uslov je $3-4x^2>0 ,$ tj. $|x|<\frac{\sqrt3}2 .$ Iz korena izvlačimo $\sqrt3$ da bismo dobili oblik $\sqrt{1-u^2} :$

\sqrt{3-4x^2}=\sqrt3\sqrt{1-\frac{4x^2}{3}}=\sqrt3\sqrt{1-\left(\frac{2x}{\sqrt3}\right)^2}

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $u=\frac{2x}{\sqrt3}$ ; tada je $du=\frac{2}{\sqrt3}\,dx ,$ pa je $dx=\frac{\sqrt3}{2}\,du :$

u=\frac{2x}{\sqrt3},\qquad dx=\frac{\sqrt3}2\,du

Konstanta $\sqrt3$ se skraćuje, a ostaje tablični integral $\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C :$

\int\frac{dx}{\sqrt{3-4x^2}}=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac12\arcsin\frac{2x}{\sqrt3}+C

Provera:

\left(\frac12\arcsin\frac{2x}{\sqrt3}\right)'=\frac12\cdot\frac{\frac2{\sqrt3}}{\sqrt{1-\frac{4x^2}3}}=\frac{\frac1{\sqrt3}}{\frac{1}{\sqrt3}\sqrt{3-4x^2}}=\frac1{\sqrt{3-4x^2}}

Zaključujemo da je $\int\frac{dx}{\sqrt{3-4x^2}}=\frac12\arcsin\frac{2x}{\sqrt3}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

327.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci