6038. Metoda smene promenljive

Uslov $\frac{x-1}{x+1}\ge0$ daje $x\ge1$ ili $x<-1$ ; tada je $z=\frac1x$ u intervalu $(-1,1] ,$ $z\neq0 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Iz $z=\frac1x$ je $x=\frac1z :$

x=\frac1z,\qquad dx=-\frac{dz}{z^2},\qquad\frac{1}{x^2}=z^2

Razlomak pod korenom: brojilac i imenilac množimo sa $z$ (time se razlomak ne menja, ni kad je $z<0$ ):

\frac{x-1}{x+1}=\frac{\frac1z-1}{\frac1z+1}=\frac{1-z}{1+z}

Uvrštavamo; $z^2$ i $\frac1{z^2}$ se skraćuju:

\int\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{dx}{x^2}=\int\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}\cdot z^2\cdot\left(-\frac{dz}{z^2}\right)=-\int\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}\,dz

Proširujemo razlomak pod korenom sa $1-z .$ Pošto je $1-z>0$ (jer je $z<1 ,$ osim u tački $z=1$ ), važi $\sqrt{(1-z)^2}=1-z :$

\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}=\sqrt{\frac{(1-z)^2}{1-z^2}}=\frac{1-z}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}-\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}

Prvi integral je tablični, $\int\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}=\arcsin z+C .$ U drugom uvodimo $w=1-z^2 ,$ $dw=-2z\,dz :$ $\int\frac{z\,dz}{\sqrt{1-z^2}}=-\frac12\int w^{-\frac12}\,dw=-\sqrt{1-z^2}+C .$ Zato:

-\int\left(\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}-\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}\right)dz=-\arcsin z-\sqrt{1-z^2}+C

Vraćamo $z=\frac1x :$

\int\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{dx}{x^2}=-\sqrt{1-\frac1{x^2}}-\arcsin\frac1x+C

Brojna provera za $x=2 :$ podintegralna funkcija je $\sqrt{\frac13}\cdot\frac14\approx0{,}1443 .$ Izvod rezultata je $-\frac{1}{x^3\sqrt{1-\frac1{x^2}}}+\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac1{x^2}}} ,$ što za $x=2$ daje $\frac{-\frac18+\frac14}{\sqrt{0{,}75}}\approx0{,}1443 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Dakle, $\int\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{dx}{x^2}=-\sqrt{1-\frac1{x^2}}-\arcsin\frac1x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

333.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci