6023. Metoda smene promenljive

Uslov je $x^5\neq-4 .$ Kod ovog oblika uvodimo $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx ,$ pa je $\int\frac{f'(x)\,dx}{f^\alpha(x)}=\int t^{-\alpha}\,dt=\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}+C$ ; to je formula $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ za $a=-\alpha\neq-1$ (videti i zadatak 329.b). Izvod od $4+x^5$ je $5x^4 .$ Uvodimo $t=4+x^5 ,$ $dt=5x^4\,dx ,$ tj. $x^4\,dx=\frac{dt}5 :$

\int\frac{x^4\,dx}{(4+x^5)^2}=\frac15\int t^{-2}\,dt

Za $a=-2$ je $a+1=-1 :$

\frac15\int t^{-2}\,dt=\frac15\cdot\frac{t^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{5t}+C=-\frac{1}{5(4+x^5)}+C

Provera:

\left(-\frac15(4+x^5)^{-1}\right)'=-\frac15\cdot(-1)(4+x^5)^{-2}\cdot5x^4=\frac{x^4}{(4+x^5)^2}

Prema tome, $\int\frac{x^4\,dx}{(4+x^5)^2}=-\frac{1}{5(4+x^5)}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

331.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci