6025. Metoda smene promenljive

Po zadatku 329.b, smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobijamo $\int f'(x)f^\alpha(x)\,dx=\int t^\alpha\,dt=\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C .$ Uvodimo $t=1+4\sin x$ ; tada je $dt=4\cos x\,dx ,$ pa je $\cos x\,dx=\frac{dt}4 :$

\int\sqrt{1+4\sin x}\cos x\,dx=\frac14\int t^{\frac12}\,dt

Za $\alpha=\frac12 :$

\frac14\int t^{\frac12}\,dt=\frac14\cdot\frac23\,t^{\frac32}+C=\frac16(1+4\sin x)^{\frac32}+C

Provera:

\left(\frac16(1+4\sin x)^{\frac32}\right)'=\frac16\cdot\frac32(1+4\sin x)^{\frac12}\cdot4\cos x=\sqrt{1+4\sin x}\cos x

Konačno, $\int\sqrt{1+4\sin x}\cos x\,dx=\frac16(1+4\sin x)^{\frac32}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

332.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci