6032. Metoda smene promenljive

Po zadatku 329.b, smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobijamo $\int f'(x)f^\alpha(x)\,dx=\int t^\alpha\,dt=\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C .$ Pošto je $(\operatorname{arctg}x)'=\frac{1}{1+x^2} ,$ uvodimo $t=\operatorname{arctg}x ,$ $dt=\frac{dx}{1+x^2} :$

\int\frac{(\operatorname{arctg}x)^2\,dx}{1+x^2}=\int t^2\,dt=\frac{t^3}{3}+C

Vraćamo smenu:

\int\frac{(\operatorname{arctg}x)^2\,dx}{1+x^2}=\frac13(\operatorname{arctg}x)^3+C

Provera:

\left(\frac13(\operatorname{arctg}x)^3\right)'=(\operatorname{arctg}x)^2\cdot\frac{1}{1+x^2}

Rešenje zadatka je $\int\frac{(\operatorname{arctg}x)^2\,dx}{1+x^2}=\frac13(\operatorname{arctg}x)^3+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

332.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci