5978. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ U brojiocu je $x\,dx ,$ a to je (do na faktor $2$ ) diferencijal od $x^2 .$ Zato uvodimo $t=x^2$ ; tada je $dt=2x\,dx ,$ pa je $x\,dx=\frac{dt}2 ,$ a $x^4=t^2 :$

t=x^2,\qquad x\,dx=\frac{dt}{2},\qquad x^4=t^2

Integral u promenljivoj $t :$

\int\frac{x\,dx}{4+x^4}=\frac12\int\frac{dt}{4+t^2}

Da bismo dobili tablični oblik $\int\frac{du}{1+u^2}=\operatorname{arctg}u+C ,$ izvlačimo $4$ iz imenioca: $4+t^2=4\left(1+\left(\frac t2\right)^2\right) .$ Zatim uvodimo novu smenu $u=\frac t2 ,$ pa je $dt=2\,du :$

\frac12\int\frac{dt}{4+t^2}=\frac18\int\frac{dt}{1+\left(\frac t2\right)^2}=\frac18\int\frac{2\,du}{1+u^2}=\frac14\operatorname{arctg}u+C

Vraćamo obe smene: $u=\frac t2=\frac{x^2}2 :$

\int\frac{x\,dx}{4+x^4}=\frac14\operatorname{arctg}\frac{x^2}2+C

Provera, uz $(\operatorname{arctg}u)'=\frac1{1+u^2}$ i $\left(\frac{x^2}2\right)'=x :$

\left(\frac14\operatorname{arctg}\frac{x^2}2\right)'=\frac14\cdot\frac{1}{1+\frac{x^4}4}\cdot x=\frac14\cdot\frac{4x}{4+x^4}=\frac{x}{4+x^4}

Dakle, $\int\frac{x\,dx}{4+x^4}=\frac14\operatorname{arctg}\frac{x^2}{2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

326.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci