6110. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}x ,$ pa je $\sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2} ,$ $\cos^2x=\frac1{1+t^2}$ i $dx=\frac{dt}{1+t^2} .$ Takođe je $\sin x\cos x=\operatorname{tg}x\cos^2x=\frac{t}{1+t^2} ,$ a $\sin^4x+\cos^4x=\frac{t^4+1}{(1+t^2)^2} :$

\int\frac{\sin x\cos x\,dx}{\sin^4x+\cos^4x}=\int\frac{t}{1+t^2}\cdot\frac{(1+t^2)^2}{t^4+1}\cdot\frac{dt}{1+t^2}=\int\frac{t\,dt}{t^4+1}

Smenom $s=t^2 ,$ $ds=2t\,dt$ dobijamo tablični integral:

\int\frac{t\,dt}{t^4+1}=\frac12\int\frac{ds}{s^2+1}=\frac12\operatorname{arctg}s+C=\frac12\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}^2x)+C

Provera preko $t :$ $\left(\frac12\operatorname{arctg}t^2\right)'_t=\frac{t}{1+t^4}$ ; množenjem sa $\frac{dt}{dx}=1+t^2$ dobijamo $\frac{t(1+t^2)}{1+t^4} ,$ a to je upravo podintegralna funkcija zapisana preko $t .$

Konačno, $\int\frac{\sin x\cos x}{\sin^4x+\cos^4x}\,dx=\frac12\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}^2x)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

343.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci