343.d
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Koristeći smenu t=tgx t=\operatorname{tg}x t=tgx (sin2x=t21+t2, cos2x=11+t2, dx=dt1+t2 \sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2},\ \cos^2x=\frac{1}{1+t^2},\ dx=\frac{dt}{1+t^2} sin2x=1+t2t2, cos2x=1+t21, dx=1+t2dt) naći: ∫dx1+3sin2x \int\frac{dx}{1+3\sin^2x} ∫1+3sin2xdx
Smena je t=tgx, t=\operatorname{tg}x ,t=tgx, pa je sin2x=t21+t2, \sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2} ,sin2x=1+t2t2, cos2x=11+t2 \cos^2x=\frac1{1+t^2} cos2x=1+t21 i dx=dt1+t2. dx=\frac{dt}{1+t^2} .dx=1+t2dt. Imenilac postaje 1+3t21+t2=1+4t21+t2: 1+\frac{3t^2}{1+t^2}=\frac{1+4t^2}{1+t^2} :1+1+t23t2=1+t21+4t2:
Smenom s=2t, s=2t ,s=2t, dt=ds2: dt=\frac{ds}2 :dt=2ds:
Provera preko t: t :t: (12arctg2t)t′⋅(1+t2)=1+t21+4t2, \left(\frac12\operatorname{arctg}2t\right)'_t\cdot(1+t^2)=\frac{1+t^2}{1+4t^2} ,(21arctg2t)t′⋅(1+t2)=1+4t21+t2, a to je 11+3sin2x \frac{1}{1+3\sin^2x} 1+3sin2x1 zapisano preko t. t .t.
Prema tome, ∫dx1+3sin2x=12arctg(2tgx)+C. \int\frac{dx}{1+3\sin^2x}=\frac12\operatorname{arctg}(2\operatorname{tg}x)+C .∫1+3sin2xdx=21arctg(2tgx)+C.
Da li je rešenje bilo korisno?
Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.
Tvoje privatne beleške uz zadatak.
Provežbaj isti tip zadatka.
Metoda parcijalne integracije