6107. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}x ,$ pa je $\sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2} ,$ $\cos^2x=\frac1{1+t^2}$ i $dx=\frac{dt}{1+t^2} .$ Izvlačimo $\cos^2x$ iz imenioca: $\sin^2x+3\sin x\cos x-\cos^2x=\cos^2x\,(t^2+3t-1) ,$ a $\frac{dx}{\cos^2x}=dt :$

\int\frac{dx}{\cos^2x\,(t^2+3t-1)}=\int\frac{dt}{t^2+3t-1}

Dopunjavamo do kvadrata: $t^2+3t-1=\left(t+\frac32\right)^2-\frac{13}4 .$ Kao u 342.a, $\int\frac{ds}{s^2-c^2}=\frac1{2c}\ln\left|\frac{s-c}{s+c}\right| ,$ sa $s=t+\frac32 ,$ $c=\frac{\sqrt{13}}2 :$

\int\frac{dt}{t^2+3t-1}=\frac{1}{\sqrt{13}}\ln\left|\frac{2t+3-\sqrt{13}}{2t+3+\sqrt{13}}\right|+C

Vraćamo $t=\operatorname{tg}x :$

\int\frac{dx}{\sin^2x+3\sin x\cos x-\cos^2x}=\frac1{\sqrt{13}}\ln\left|\frac{2\operatorname{tg}x+3-\sqrt{13}}{2\operatorname{tg}x+3+\sqrt{13}}\right|+C

Brojna provera za $x=0{,}5 :$ podintegralna funkcija i numerički izvod rezultata u toj tački imaju istu vrednost $\approx1{,}3852 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Dakle, $\int\frac{dx}{\sin^2x+3\sin x\cos x-\cos^2x}=\frac1{\sqrt{13}}\ln\left|\frac{2\operatorname{tg}x+3-\sqrt{13}}{2\operatorname{tg}x+3+\sqrt{13}}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

343.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci