6118. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}\frac x2 :$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2} ,$ $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ,$ $dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} .$

\int\frac{dx}{\cos x}=\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}=2\int\frac{dt}{1-t^2}

Po tablici je $\int\frac{dt}{1-t^2}=\frac12\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C :$

\int\frac{dx}{\cos x}=\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C=\ln\left|\frac{\operatorname{tg}\frac x2+1}{\operatorname{tg}\frac x2-1}\right|+C

Apsolutna vrednost dozvoljava da u imeniocu pišemo $t-1$ umesto $1-t .$ Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $1 ,$ a izvod po $t$ je $\frac{2}{1-t^2}$ ; množenjem sa $\frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}{2}$ za $t=0$ dobijamo $1 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Rešenje zadatka je $\int\frac{dx}{\cos x}=\ln\left|\frac{\operatorname{tg}\frac x2+1}{\operatorname{tg}\frac x2-1}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

344.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci