344.đ
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Primenjujući smenu t=tgx2 t=\operatorname{tg}\frac x2 t=tg2x (sinx=2t1+t2, cosx=1−t21+t2, dx=2 dt1+t2 \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} sinx=1+t22t, cosx=1+t21−t2, dx=1+t22dt), naći: ∫cosx dx1+cosx \int\frac{\cos x\,dx}{1+\cos x} ∫1+cosxcosxdx
Smena je t=tgx2: t=\operatorname{tg}\frac x2 :t=tg2x: sinx=2t1+t2, \sin x=\frac{2t}{1+t^2} ,sinx=1+t22t, cosx=1−t21+t2, \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ,cosx=1+t21−t2, dx=2 dt1+t2. dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} .dx=1+t22dt. Pošto je 1+cosx=21+t2, 1+\cos x=\frac{2}{1+t^2} ,1+cosx=1+t22, imamo cosx1+cosx=1−t22: \frac{\cos x}{1+\cos x}=\frac{1-t^2}{2} :1+cosxcosx=21−t2:
Brojilac pišemo kao 1−t2=2−(1+t2): 1-t^2=2-(1+t^2) :1−t2=2−(1+t2):
Za x∈(−π,π) x\in(-\pi,\pi) x∈(−π,π) je arctg(tgx2)=x2, \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac x2\right)=\frac x2 ,arctg(tg2x)=2x, pa je 2arctgt=x: 2\operatorname{arctg}t=x :2arctgt=x:
Provera:
Traženi integral je ∫cosx dx1+cosx=x−tgx2+C. \int\frac{\cos x\,dx}{1+\cos x}=x-\operatorname{tg}\frac x2+C .∫1+cosxcosxdx=x−tg2x+C.
Da li je rešenje bilo korisno?
Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.
Tvoje privatne beleške uz zadatak.
Provežbaj isti tip zadatka.
Metoda parcijalne integracije