6115. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}\frac x2 :$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2} ,$ $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ,$ $dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} .$ Imenilac:

8-4\sin x+7\cos x=\frac{8(1+t^2)-8t+7(1-t^2)}{1+t^2}=\frac{t^2-8t+15}{1+t^2}=\frac{(t-3)(t-5)}{1+t^2}

Uvrštavamo:

\int\frac{dx}{8-4\sin x+7\cos x}=\int\frac{2\,dt}{(t-3)(t-5)}

Pošto je $(t-3)-(t-5)=2 ,$ važi $\frac{2}{(t-3)(t-5)}=\frac1{t-5}-\frac1{t-3} :$

\int\left(\frac1{t-5}-\frac1{t-3}\right)dt=\ln\left|\frac{t-5}{t-3}\right|+C=\ln\left|\frac{\operatorname{tg}\frac x2-5}{\operatorname{tg}\frac x2-3}\right|+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac1{15}$ ; izvod po $t$ u $t=0$ je $-\frac15+\frac13=\frac2{15} ,$ a $\frac{dt}{dx}=\frac12 ,$ pa dobijamo $\frac{1}{15} ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Zaključujemo da je $\int\frac{dx}{8-4\sin x+7\cos x}=\ln\left|\frac{\operatorname{tg}\frac x2-5}{\operatorname{tg}\frac x2-3}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

344.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci