6108. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}x ,$ pa je $\sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2} ,$ $\cos^2x=\frac1{1+t^2}$ i $dx=\frac{dt}{1+t^2} .$ Brojilac i imenilac delimo sa $\cos x ,$ a zatim izvlačimo $\cos^2x :$ $\frac{\sin^2x\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\sin^2x}{\operatorname{tg}x+1}=\cos^2x\cdot\frac{t^2}{t+1} :$

\int\frac{\sin^2x\cos x\,dx}{\sin x+\cos x}=\int\frac{1}{1+t^2}\cdot\frac{t^2}{t+1}\cdot\frac{dt}{1+t^2}=\int\frac{t^2\,dt}{(t+1)(1+t^2)^2}

Rastavljamo na zbir jednostavnijih razlomaka (koeficijente nalazimo izjednačavanjem brojilaca, kao u 341.g):

\frac{t^2}{(t+1)(1+t^2)^2}=\frac{1}{4(t+1)}-\frac{t-1}{4(1+t^2)}+\frac{t-1}{2(1+t^2)^2}

Koristimo $\int\frac{t\,dt}{1+t^2}=\frac12\ln(1+t^2) ,$ $\int\frac{t\,dt}{(1+t^2)^2}=-\frac{1}{2(1+t^2)}$ i, iz zadatka 341.g, $\int\frac{dt}{(1+t^2)^2}=\frac{t}{2(1+t^2)}+\frac12\operatorname{arctg}t :$

\frac14\ln|t+1|-\frac18\ln(1+t^2)+\frac14\operatorname{arctg}t-\frac{1}{4(1+t^2)}-\frac{t}{4(1+t^2)}-\frac14\operatorname{arctg}t+C

Članovi sa $\operatorname{arctg}t$ se poništavaju. Vraćamo $t=\operatorname{tg}x :$

\int\frac{\sin^2x\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx=\frac14\ln|1+\operatorname{tg}x|-\frac18\ln(1+\operatorname{tg}^2x)-\frac{1+\operatorname{tg}x}{4(1+\operatorname{tg}^2x)}+C

Brojna provera za $x=0{,}5 :$ podintegralna funkcija i numerički izvod rezultata imaju istu vrednost $\approx0{,}1486 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Traženi integral je $\int\frac{\sin^2x\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx=\frac14\ln|1+\operatorname{tg}x|-\frac18\ln(1+\operatorname{tg}^2x)-\frac{1+\operatorname{tg}x}{4(1+\operatorname{tg}^2x)}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

343.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci