6111. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}\frac x2 :$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2} ,$ $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ,$ $dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} .$ Imenilac svodimo na zajednički imenilac $1+t^2 :$

1+\sin x+\cos x=\frac{(1+t^2)+2t+(1-t^2)}{1+t^2}=\frac{2(1+t)}{1+t^2}

Činilac $1+t^2$ se skraćuje:

\int\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}=\int\frac{1+t^2}{2(1+t)}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}=\int\frac{dt}{1+t}=\ln|1+t|+C

Vraćamo smenu:

\int\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}=\ln\left|1+\operatorname{tg}\frac x2\right|+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac12 ,$ a izvod rezultata je $\frac{1}{1+\operatorname{tg}\frac x2}\cdot\frac{1}{2\cos^2\frac x2} ,$ što za $x=0$ daje $\frac12 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Zaključujemo da je $\int\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}=\ln\left|1+\operatorname{tg}\frac x2\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

344.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci