6117. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}\frac x2 :$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2} ,$ $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ,$ $dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} .$ Tada je $2+\cos x=\frac{3+t^2}{1+t^2} ,$ pa je $(2+\cos x)\sin x=\frac{2t(3+t^2)}{(1+t^2)^2} :$

\int\frac{dx}{(2+\cos x)\sin x}=\int\frac{(1+t^2)^2}{2t(3+t^2)}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}=\int\frac{1+t^2}{t(3+t^2)}\,dt

Rastavljamo: $\frac{1+t^2}{t(3+t^2)}=\frac At+\frac{Bt+C}{3+t^2} ,$ tj. $1+t^2=A(3+t^2)+(Bt+C)t .$ Za $t=0 :$ $A=\frac13$ ; uz $t^2 :$ $A+B=1$ ; uz $t :$ $C=0 :$

\frac{1+t^2}{t(3+t^2)}=\frac{1}{3t}+\frac{2t}{3(3+t^2)}

Drugi razlomak ima u brojiocu izvod imenioca (zadatak 329.a):

\int\left(\frac{1}{3t}+\frac{2t}{3(3+t^2)}\right)dt=\frac13\ln|t|+\frac13\ln(3+t^2)+C

Vraćamo smenu:

\int\frac{dx}{(2+\cos x)\sin x}=\frac13\ln\left|\operatorname{tg}\frac x2\right|+\frac13\ln\left(3+\operatorname{tg}^2\frac x2\right)+C

Provera za $x=\frac\pi2$ ( $t=1$ ): podintegralna funkcija je $\frac{1}{2\cdot1}=\frac12$ ; izvod po $t$ je $\frac13+\frac{2}{3\cdot4}=\frac12 ,$ a $\frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}2=1 ,$ pa je izvod $\frac12 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Prema tome, $\int\frac{dx}{(2+\cos x)\sin x}=\frac13\ln\left|\operatorname{tg}\frac x2\right|+\frac13\ln\left(3+\operatorname{tg}^2\frac x2\right)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

344.i

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci