6119. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}\frac x2 :$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2} ,$ $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ,$ $dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} .$ Imenilac:

\sin x-2\cos x+3=\frac{2t-2(1-t^2)+3(1+t^2)}{1+t^2}=\frac{5t^2+2t+1}{1+t^2}

Uvrštavamo i dopunjavamo do kvadrata: $5t^2+2t+1=5\left(\left(t+\frac15\right)^2+\frac4{25}\right) :$

\int\frac{2\,dt}{5t^2+2t+1}=\frac25\int\frac{dt}{\left(t+\frac15\right)^2+\left(\frac25\right)^2}

Koristimo formulu iz zadatka 326.v: $\int\frac{du}{u^2+c^2}=\frac1c\operatorname{arctg}\frac uc+C$ ( $c>0$ ). Ovde je $c=\frac25 :$

\frac25\cdot\frac52\operatorname{arctg}\frac{t+\frac15}{\frac25}+C=\operatorname{arctg}\frac{5t+1}{2}+C=\operatorname{arctg}\frac{5\operatorname{tg}\frac x2+1}{2}+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac{1}{0-2+3}=1$ ; izvod po $t$ u $t=0$ je $\frac{5/2}{1+\frac14}=2 ,$ a $\frac{dt}{dx}=\frac12 ,$ pa je izvod $1 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Rešenje zadatka je $\int\frac{dx}{\sin x-2\cos x+3}=\operatorname{arctg}\frac{5\operatorname{tg}\frac x2+1}{2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

344.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci