6104. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}x ,$ pa je $\sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2} ,$ $\cos^2x=\frac1{1+t^2}$ i $dx=\frac{dt}{1+t^2} .$ Imenilac postaje $1+\frac{t^2}{1+t^2}=\frac{1+2t^2}{1+t^2} :$

\int\frac{dx}{1+\sin^2x}=\int\frac{1+t^2}{1+2t^2}\cdot\frac{dt}{1+t^2}=\int\frac{dt}{1+2t^2}

Smenom $s=\sqrt2t ,$ $dt=\frac{ds}{\sqrt2}$ dobijamo tablični integral:

\int\frac{dt}{1+(\sqrt2t)^2}=\frac1{\sqrt2}\operatorname{arctg}(\sqrt2t)+C=\frac1{\sqrt2}\operatorname{arctg}(\sqrt2\operatorname{tg}x)+C

Brojna provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $1 ,$ a izvod rezultata je $\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{1+2\operatorname{tg}^2x} ,$ što za $x=0$ daje $1 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Traženi integral je $\int\frac{dx}{1+\sin^2x}=\frac1{\sqrt2}\operatorname{arctg}(\sqrt2\operatorname{tg}x)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

343.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci