6105. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}x ,$ pa je $\sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2} ,$ $\cos^2x=\frac1{1+t^2}$ i $dx=\frac{dt}{1+t^2} .$ Tada je $\sin^4x\cos^2x=\frac{t^4}{(1+t^2)^2}\cdot\frac1{1+t^2}=\frac{t^4}{(1+t^2)^3} :$

\int\frac{dx}{\sin^4x\cos^2x}=\int\frac{(1+t^2)^3}{t^4}\cdot\frac{dt}{1+t^2}=\int\frac{(1+t^2)^2}{t^4}\,dt

Kvadriramo binom i delimo član po član: $\frac{1+2t^2+t^4}{t^4}=t^{-4}+2t^{-2}+1 :$

\int\left(t^{-4}+2t^{-2}+1\right)dt=-\frac{1}{3t^3}-\frac2t+t+C

Vraćamo $t=\operatorname{tg}x :$

\int\frac{dx}{\sin^4x\cos^2x}=\operatorname{tg}x-\frac{2}{\operatorname{tg}x}-\frac{1}{3\operatorname{tg}^3x}+C

Provera preko $t :$ $\left(t-\frac2t-\frac1{3t^3}\right)'=1+\frac2{t^2}+\frac1{t^4}=\frac{(1+t^2)^2}{t^4} ,$ a pošto je $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2x}=1+t^2 ,$ izvod po $x$ je $\frac{(1+t^2)^3}{t^4}=\frac{1}{\sin^4x\cos^2x} ,$ što se slaže sa podintegralnom funkcijom.

Zaključujemo da je $\int\frac{dx}{\sin^4x\cos^2x}=\operatorname{tg}x-\frac{2}{\operatorname{tg}x}-\frac{1}{3\operatorname{tg}^3x}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

343.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci